Электронная библиотека МГППУ : Куравский, Артеменков и др. Марковские модели в задачах диагностики и прогнозирования

Московский государственный психолого-педагогический университет

Факультет «Информационные технологии»

Марковские модели

в задачах диагностики

и прогнозирования

Под редакцией Л. С. Куравского

Издание второе, дополненное

Рекомендовано в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся по направлению подготовки «Прикладная информатика»

Издательство ФГБОУ ВО МГППУ

Москва

2017

УДК	519.2+519.6+681.3
ББК	22.161.6+22.18+30.17+32.973+517.8
	М-26

Рецензент:

доктор технических наук, профессор,

Заслуженный деятель науки Российской Федерации,
лауреат премии Правительства Российской Федерации
А. И. Галушкин

Авторы:

С. Л. Артеменков, В. И. Алхимов, С. Н. Баранов, Беляева О. Б., П. Н. Думин, П. А. Корниенко, Л. С. Куравский, С. Б. Малых, А. А. Марголис, П. А. Мармалюк, А. С. Панфилова, С. И. Попков, Г. А. Юрьев, Н. Е. Юрьева

М-26	Марковские модели в задачах диагностики и прогнозирования: Учеб. пособие. / Под ред. Л. С. Куравского. — 2-е изд., доп. — М.: Изд-во МГППУ, 2017. — 203 с.: ил. — ISBN 978–5–94051–168–7.

В учебном пособии рассматривается техника практического применения марковских моделей. Особенностью представленного материала является работа с исследуемым классом моделей в рамках решения, как правило, обратных задач, когда параметры математических моделей идентифицируются по результатам наблюдений. Основы теории марковских процессов представлены только в том объёме, который необходим для описания и решения поставленных математических задач.

Пособие предназначено для научных работников, аспирантов и студентов, изучающих и использующих методы математического и компьютерного моделирования.

Markov models in the diagnostics and prediction problems: Textbook. / Edited by L. S. Kuravsky. — 2nd Edition, Enlarged. — M.: MSUPE Edition, 2017. — 203 pp.: ill. — 978—5—94051—168—7.

Under consideration in this textbook are techniques of Markov model practical applications. The peculiarity of the presented material is that the model class in question is usually used for the purposes of solving the inverse problems, when the parameters of mathematical models are identified according to the observations results. Foundations of the Markov process theory are presented only to the extent that is necessary for describing and solving the mathematical problems posed.

The textbook is destined for researchers, post graduate students and undergraduates who study and use the methods of mathematical and computer modeling.

Табл. 20. Ил. 94.

ISBN 978–5–94051–168–7

УДК 159.9+519.2+519.6+681.3

ББК 22.161.6+22.19+32.973+517.8

Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области прикладной информатики в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки «Прикладная информатика».

Оглавление

Предисловие	5
Раздел 1. Простейшие марковские модели и примеры их использования для анализа и прогнозирования результатов психологических и технических измерений	11
1.1. Введение	11
1.2. Модели и методы анализа	12
1.3. Пример 1. Анализ и прогнозирование динамики средовых влияний в близнецовых исследованиях	17
1.4. Пример 2. Анализ и прогнозирование эволюции психологических характеристик в популяции 27	27
1.5. Пример 3. Исследование поведения технической системы 40	40
1.6. Заключение	53
Литература к разделам 1.1 и 1.2	53
Литература к разделам 1.3 и 1.4	54
Литература к разделу 1.5	57
Раздел 2. Синтез и идентификация скрытых марковских моделей с дискретным и непрерывным временем	58
2.1. Пример технической задачи, решаемой с помощью скрытых марковских моделей	58
2.2. Технология решения	62
2.3. Пример решения	70
2.4. Заключение	82
Литература к разделу 2	83
Раздел 3. Сложные марковские модели и их практическое применение	86
3.1. Компьютерное тестирование как пример задачи, требующей применения сложных марковских моделей	86
3.2. Марковские процессы общего вида и их дискретизация	90
3.3. Многофакторные марковские модели и их идентификация	96
3.4. Этапы построения и применения классификатора	103
3.5. Пример 1. Применение сложных марковских моделей для решения задачи диагностики	106
3.6. Пример 2. Применение сложных марковских моделей для анализа психологических характеристик	119
3.7. Пример 3. Применение сложных марковских моделей для решения технической задачи	130
3.8. Заключение	139
Литература к разделам 3.1—3.6	140
Литература к разделу 3.7	146

Раздел 4. Концепция системы поддержки принятия решений для психологического тестирования, построенная на базе марковских моделей	147
4.1. Введение	147
4.2. Математические модели для представления динамики прохождения тестов	149
4.3. Процедура оценки знаний или способностей	153
4.4. Заключение	157
Литература к разделу 4	157
Раздел 5. Марковские модели в задачах адаптивного тестирования и обучения	159
5.1. Технологии компьютерного тестирования	159
5.2. Марковские модели адаптивного тестирования и обучения	162
5.3. Математическая постановка и решение задачи фильтрации Калмана при адаптивном тестировании с использованием марковских моделей	167
5.4. Программная реализация	170
5.5. Задача адаптивного обучения	1727
5.6. Примеры практического применения	176
5.7. Заключение	184
Литература к разделу 5	184
Раздел 6. Марковские модели управления прикладными многоагентными системами	188
6.1. Введение	188
6.2. Постановка задачи	189
6.3. Модель управления на основе марковского процесса	191
6.4. Алгоритм поведения агентов системы	194
6.5. Программное обеспечение	196
6.6. Прогнозирование состояний системы	199
6.7. Заключение	201
Литература к разделу 6	202

ПРЕДИСЛОВИЕ

В последние годы наблюдается повышенный интерес к марковским моделям, которые успешно применяются в самых различных областях, где решаются задачи диагностики и прогнозирования. Парадигма этих моделей даёт исследователям достаточно широкие возможности для выбора их компонентов и правил организации их работы. Удачный выбор позволяет создавать специализированные сети, приспособленные для решения различных прикладных задач. Разработка подобных конструкций является одним из наиболее перспективных способов решения задач прогнозирования, диагностики и анализа данных.

Это учебное пособие посвящено, в первую очередь, технике практического применения марковских моделей. В рассмотренных примерах один и тот же аппарат используется в двух совершенно различных областях: для исследования состояния технических конструкций и анализа данных в психологии. Особенностью представленного материала является работа с исследуемым классом моделей в рамках решения, как правило, обратных задач, когда параметры математических моделей идентифицируются по результатам наблюдений. Основы теории марковских процессов здесь рассматриваются только в том объёме, который необходим для описания и решения поставленных математических задач. Для специалистов, интересующихся систематическим изложением этой теории, можно рекомендовать ряд книг, вышедших в свет в разные годы:

1. Кельберт М. Я., Сухов Ю. М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Том 2: Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложения. — М.: МЦНМО, 2010. — 560 с.

2. Саати Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и её приложения: Изд. 3-е. — М.: ЛИБРОКОМ, 2010. — 520 с.

3. Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания. — М.: Машиностроение, 1969. — 324 с.

Пособие состоит из шести разделов и приложения.

В разделе 1 представлены сети Маркова и технология их идентификации, позволяющие исследовать динамику исследуемых характеристик под воздействием различных факторов. Возможности рассмотренного подхода демонстрируются на примерах решения задач анализа и прогнозирования результатов психологических измерений и исследования поведения технической системы.

В разделе 2 рассматриваются методы синтеза и идентификации скрытых марковских моделей, предназначенных для диагностики систем с дискретным и непрерывным временем. Модель первого приближения

формируется с помощью многомерного статистического анализа наблюдаемых данных или их обработки посредством самоорганизующихся карт Кохонена. Затем эта структура подвергается коррекции по определённым правилам. Для идентификации полученных моделей используются гистограммы наблюдаемых частот пребывания в различных состояниях системы после заданных периодов эксплуатации. Синтез выполняется при наличии неопределённостей, включая отсутствие полной информации о состояниях системы и связях между ними. Связи между различными состояниями определяются в соответствии со смежностью или их кластеров, или приписанных состояниям областей выигрывающих элементов топологических карт Кохонена, опираясь на статистические критерии согласия.

В разделе 3 рассмотрены сложные марковские модели и примеры их практического применения. Представлен новый подход к построению интеллектуальных и компетентностных тестов, основанный на аппроксимации распределения вероятностей пребывания взора в различных зонах визуального стимула с помощью марковского случайного процесса, заданного уравнением Фоккера – Планка – Колмогорова, и соответствующих этой формализации технологиях диагностики. Наиболее вероятные диагнозы определяются путём оценки степени соответствия траектории взора эталонным вероятностным распределениям, идентифицированным по результатам наблюдений для каждой из диагностируемых групп испытуемых.

В том же разделе представлена концепция обучаемых многофакторных сетей Маркова, позволяющих исследовать эффекты воздействия двух и более факторов различной природы, гибко учитывая особенности поведения наблюдаемых систем и улучшая качество прогнозирования. Предложена техника декомпозиции многофакторных сетей, существенно упрощающая их идентификацию.

В разделе 3.5 приведён пример практического применения разработанной технологии диагностики для выявления уровня математической подготовки студентов и школьников.

В разделе 3.6 рассмотрены многофакторные сети Маркова, применяемые для исследования эволюции и взаимодействия психологических характеристик и обученные, используя наблюдаемые распределения индивидуальных характеристик испытуемых в контрольные моменты времени.

В разделе 3.7 представлены обучаемые многофакторные сети Маркова, позволяющие прогнозировать поведение сложных технических систем. Возможности этих структур продемонстрированы на примерах моделей усталостного разрушения металлических конструкций.

В разделе 4 представлена концепция системы поддержки принятия решений, предназначенной для оптимизации порядка предъявления заданий психологических тестов и построенной на использовании марковских